一般情况下的阿波罗尼斯圆的方程的推导过程

首先介绍一下什么是阿波罗尼斯圆:

已知平面上两点 $A, B$, 则所有满足 $\frac{PA}{PB}=k$ 且不等于 $1$ 的点 $P$ 的轨迹是一个以定比 $m:n$ 内分和外分定线段 $AB$ 的两个分点的连线为直径的圆. 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现, 故称作阿氏圆.

我翻了半天知乎, 发现没有人写阿波罗尼斯圆在最一般的情况下方程的推导, 遂作此文. 当然, 很大一部分原因是我下边写的这种推导十分麻烦, 不如以所给的两定点为 $x$ 轴来研究.

那么下边我将以最一般的情况, 用解析几何的方法来推导.

在平面直角坐标系中，已知 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$， $B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$ （ $A,B$ 互异），设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$, 满足 $\frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k \quad (k>0 且 k\neq1)$. 易得

$$\begin{split} |PA| = \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} ,\\ |PB| = \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} . \end{split}$$

由 $\frac{|{PA}|}{|{PB}|}=k$, 即 $|PA| = k|PB|$, 对两边平方后将上一行的两式带入得

$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=k^2[(x-x_2)^2+(y-y_2)^2] ,$$

展开整理后得到

$$(1-k^2)x^2+(1-k^2)y^2+2(k^2x_2-x_1)x+2(k^2y_2-y_1)y+x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2=0 ,$$

等号两边同除以 $(1-k^2)$, 得到

$$x^2+y^2+\frac{2(k^2x_2-x_1)}{1-k^2}x+\frac{2(k^2y_2-y_1)}{1-k^2}y+\frac{x_1^2-k^2x_2^2+y_1^2-k^2y_2^2}{1-k^2}=0 .$$

可以配一下方，那么可以得到

$$\begin{equation}\notag \begin{split} &\ \left(x+\frac{k^2x_2-x_1}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_2-y_1}{1-k^2}\right)^2 \\ =&\ \frac{(k^2x_{2}-x_{1})^2+(k^2y_{2}-y_{1})^2+(k^2-1)(x_{1}^2-k^2x_{2}^2+y_{1}^2-k^2y_{2}^2)}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^4x_{2}^2-2k^2x_{1}x_{2}+x_{1}^2+k^4y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}+y_{1}^2+(k^2-1)x_{1}^2+(1-k^2)k^2x_{2}^2+(k^2-1)y_{1}^2+(1-k^2)k^2y_{2}^2}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2 x_{1}^2+k^2x_{2}^2-2 k^2x_{1} x_{2}+k^2 y_{1}^2+k^2y_{2}^2-2k^2y_{1}y_{2}}{(1-k^2)^2} \\ =&\ \frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] ,\\ \end{split} \end{equation}$$

即

$$(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2})^2+(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2})^2=\frac{k^2}{(1-k^2)^2}[(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2] .$$

由于 $k>0$ 且 $k\neq 1$, 并且 $A,B$ 两点互异, 所以等号右边的式子始终大于 $0$ , 所以这便是圆的标准方程.

这样我们就得到了阿波罗尼斯圆的方程. 实际上, 也就证明了阿波罗尼斯圆的命题.

由上式可知此情况下圆心为

$$\left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) .$$

观察最后得到的这个式子, 不难发现

$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=|AB|^2 .$$

那么, 阿波罗尼斯圆的半径可以表示为

$$R=\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| .$$

综上

在平面直角坐标系中, 已知 $A$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$, $B$ 的坐标为 $(x_2,y_2)$ ($A,B$ 互异), 设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$, 满足 $\frac{|PA|}{|PB|}=k \quad (k>0且k\neq 1)$, 那么点 $P$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆, 方程为

$$\left(x+\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2}\right)^2+\left(y+\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right)^2=\left(\frac{k}{1-k^2}|AB|\right)^2 ,$$

圆心为

$$\left(\frac{k^2x_{2}-x_{1}}{1-k^2},\frac{k^2y_{2}-y_{1}}{1-k^2}\right) ,$$

半径为

$$\left|\frac{k}{1-k^2}\right|\cdot|AB| .$$

以上.