在高中数学的学习过程中，我们应该会知道这样一个公式：

∑k=1n(2k−1)=n2\sum^n_{k=1}\left(2k-1\right)=n^2

那么我们就会想到

∑k=1nk2=∑k=1n(∑k=1n(2k−1))\sum^n_{k=1}k^2=\sum^n_{k=1}\left(\sum^n_{k=1}\left(2k-1\right)\right)

展开来写，便是：

∑k=1nk2=1+(1+3)+(1+3+5)+⋯+[1+3+5+⋯+(2n−1)]=1⋅n+3⋅(n−1)+5⋅(n−2)+⋯+(2n−1)⋅[n−(n−1)]=n+(3n−3)+(5n−10)+⋯+[(2n−1)n−(2n−1)(n−1)]=(∑k=1n(2k−1))⋅n−∑k=1n[(2k−1)(k−1)]=n2⋅n−∑k=1n(2k2−3k+1)=n3−2∑k=1nk2+3∑k=1nk−∑k=1n=n3−2∑k=1nk2+3⋅n(1+n)2−n\begin{split} \sum_{k=1}^n k^2 &= 1+(1+3)+(1+3+5)+\dots+[1+3+5+\dots+(2n-1)]\\ &= 1\cdot n+3\cdot (n-1)+5\cdot (n-2)+\dots +(2n-1)\cdot [n-(n-1)]\\ &= n+(3n-3)+(5n-10)+\dots +[(2n-1)n-(2n-1)(n-1)]\\ &= (\textstyle\sum_{k=1}^n(2k-1))\cdot n-\textstyle\sum_{k=1}^n[(2k-1)(k-1)]\\ &= n^2\cdot n-\textstyle\sum_{k=1}^n(2k^2-3k+1)\\ &= n^3-2\textstyle\sum_{k=1}^nk^2+3\textstyle\sum_{k=1}^nk-\textstyle\sum_{k=1}^n\\ &=n^3-2\textstyle\sum_{k=1}^nk^2+3\cdot\frac{n(1+n)}{2}-n \end{split}

那么，我们就可以把 ∑k=1nk2\sum^n_{k=1}k^2 放在等号的一侧，即

3∑k=1nk2=n3+3n(1+n)2−n3\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2}=n^3+\frac{3n(1+n)}{2}-n

于是，

∑k=1nk2=n3+3n(1+n)2−n3=2n3+3n2+n6=n(n+1)(2n+1)6\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n^3+\frac{3n(1+n)}{2}-n}{3}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}